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这篇著述，咱们将全力解读由天才数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）所提议的一个令东谈主咋舌的数学恒等式。先看底下这个：

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从影片类型来看，动画片5部、剧情片3部、喜剧片2部、爱情片1部。《前任4：英年早婚》位列国庆档新片“想看榜”首位，超百万人映前想看，《坚如磐石》和《志愿军：雄兵出击》分别以24.9万人、21.8万人位列第二和第三名。

这是一个相配奇特的无限分数。然后还有这个无限和：

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当今让咱们将这两个“无限级数”相加：

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这里有个π和e的因子，这是一个跋扈的成果。这两个无限级数，是怎样将π和e斟酌在所有这个词的？拉马努金在这种事情上是个天才，这个恒等式只是他发现的数千个恒等式中的一个，亦然最好意思的一个恒等式。

1914年，拉马努金离开印度去英国的那一年，他挑战数学界，阐明注解了他的恒等式是正确的。

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这是印度数学学会杂志中的第541个问题。今天的任务即是，试图解开这两个无限级数是如安在数学天才的头脑中勉强起来的。在这个经由中，咱们会遭受一些数学中的伟大发现，比如Wallis公式：

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高斯积分，

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以及一个近乎跋扈的等式，

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指示一下，要想链接接下来的一切，你需要了解一些低级微积分的学问。

好的，开动吧。一个是无限和，一个是无限分数。让咱们从无限和开动。你们可能会肃肃一个密切相干的无限和：

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分母的乘积当今是连气儿的整数，而不单是是奇数。率先，让咱们把这个和调度成一个对于变量x的幂级数，

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规划这个幂级数的导数：

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当今，首项是1。把这两个幂级数对皆：

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上头是一个对于x的函数，咱们称之为y（x），底下是它的导数y'（x），

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不难发现：

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这即是一个微分方程。要解它，咱们需要找到一个函数，这个函数加1后，获得的是该函数的导数。有莫得任何简单的函数不错知足这个微分方程？我信服你们照旧猜到了。要是莫得这个+1，那么要找的函数即是导数为本人的函数，这个函数即是指数函数：

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指数函数并不是独逐一个等于其导数的函数。2乘以e的x次方也等于它的导数，3乘以e的x次方亦然。本色上，具有这种颠倒性质的函数恰是形如常数乘以e的x次方的无尽多个函数。

当今，咱们将1从头加入到微分方程中，

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这可能会增多解微分方程的难度，但在这里它很简单。咱们不错用c乘以e的x次方减去1来抵偿这个+1，

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这即是这个微分方程的扫数解。但是，其中哪一个函数等于底下这个幂级数呢：

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这很容易，只需插入x=0。那么右边就散失了，

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是以咱们看到y在0处等于0。把x=0带入通解中，

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是以c等于1，那么

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临了，插入x=1，就完成了，

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当今让咱们试着以十足换取的表情链接拉马努金的无限和，

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将这个和推广成一个幂级数，只用x的奇数次幂，

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规划导数，

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提议一个x，

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像之前一样，咱们将原幂级数定名为y(x)，它的导数是y'。是以，

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那么，这个微分方程的解是什么？和上一个微分方程一样，有多半的解，而y在x=0的值细则了哪个解等于无尽级数。那么0处的值是什么？是0，

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临了的解是，

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这看起来很吓东谈主，但无谓牵记，求解经由不是要点，咱们的任务是找出拉马努金的和。

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咱们只需要将x=1代入即可，

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是以，右边的拉马努金和等于左边阿谁奇怪的积分抒发式。咱们不错规划出阿谁积分，值约为1.41。或者是2的常常根对吧？但本色上并不是。e的1/2次幂，即是根号e，

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根号e即是拉马努金恒等式的一个要素。咱们似乎在接近谜底。但是这个积分呢？

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这对很多东谈主来说应该很肃肃，一个正态散布，钟形弧线。那么所有这个词积分即是钟形弧线在0和1之间的面积，

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我在前边提到过的超等著名的高斯积分。钟形弧线的总面积，从-∞到∞，正巧等于2π的常常根，

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从0到∞的积分应该等于一半，

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即有，

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那么，

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别健忘，

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接下来，把0到无尽的积分分为两个部分，

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咱们照旧阐明注解了，

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是以，剩下的即是要阐明注解，

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这一丝也不彰着。让咱们开启天才花式。用x来处理问题对无尽和相配灵验。是以，让咱们将扫数内容以当然的表情推广到一个x恒等式，然后尝试构造阿谁无尽极少。拆分左侧的根式，

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积分标识上的1是从x获得的，

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根号e变为，

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这是一个很是当然的作念法。况兼，最焦炙的是，这个新的恒等式对扫数的x都是配置的，不单是是x=1。因为无论咱们礼聘什么x，两个黄色的积分加起来老是等于左侧的π除以2的常常根，

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剩下要作念的，即是要阐明注解，当x等于1时，有

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令

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为了解出y，咱们获得这个差值，

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要找出微分方程，咱们需要y的导数，是以让咱们在双方都取导数，

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不难发现，y包含在了它的导数中，作念个简单替换获得，

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频繁，这个微分方程有无尽多个解。当今，咱们要奈何作念，才略在这无尽多个解中找出咱们需要的阿谁解？和前边一样吗，咱们规划y在0的值，代入x = 0获得，

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当今，让我来展示怎样从这个新的微分方程获得无尽分数，

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咱们从头的微分方程开动，率先在双方求导，

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然后一直重迭

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谨防到右边的1，2，3了吗？接下来将有一些确凿的数学魔法。将第一个方程除以y。对扫数其他的方程也作念雷同的处理。

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你能看出来了吗？

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何等神奇呀！咱们照旧完成了阐明注解。

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本色上，咱们的阐明注解远远卓著了拉马努金的发现。这是一个恒等式，适用于扫数的x。将x替换为1，就获得了拉马努金的等式。但是，拉马努金本东谈主也相配了了这个恒等式的某个版块。但数学运筹帷幄者应该知谈，无尽大具故意用性，对于咱们到咫尺截止所作念的事情，要确凿看成一个阐明注解，还有一些事情需要搜检。不然，很容易获得雷同于当然数之和等于-1/12这种跋扈的成果。

为了看到问题，咱们必须回看一下咱们是怎样获得这个无尽分数的，

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开动时，谨防到y知足底下这个微分方程，

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而且y在0处等于根号π除以2，

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当今，咱们找到了微分方程的一个解，以无尽分数的体式。可是，咱们求解微分方程的经由，莫得使用y在0处等于根号π除以2的事实。这指示咱们还有更多的事情需要完成，因为咱们怎样能确保咱们找到的解即是在0处取值为根号π除以2的解呢？问题照旧找出，但也很容易处置，咱们只需要将x=0代入分数，然后但愿能将成果抒发式升沉为根号π除以2，

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咱们怎样看出这个相配奇特的无尽分数的值是根号π除以2呢？让咱们将这个无限分数变得有限，比如在7之后截断，

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一直运算下去，最终获得，

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扫数的偶数在上头，扫数的奇数不才面。这让咱们想起我在著述开头提到的另一个无尽积，

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这相配焦炙，是著名的Wallis积。在Wallis积中，扫数的整数出现两次，2乘以2，3乘以3，等等。但是，在咱们新的无尽积中，每个整数只出现一次，是以，

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这恰是咱们但愿找到的成果。但还有一些更跋扈的事情。事实阐明注解，新的无尽乘积并不等于根号π除以2。是的，要是你真实试图通过2除以1乘以4除以3乘以6除以5等等去求这个无尽抒发式的值，你会发现这个无尽抒发式发散，即趋向于无尽大。但是，为什么Wallis积不会发散？正如你们所见，这相配雷同于拉马努金著名的当然数之和等于-1/12，这个等式本色上并不像一般等式那样专门念念意思，但是与此同期，它在某些情况下确乎像等式那样揭示了1+2+3+……=-1/12之间的深层斟酌。

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对于咱们这里的无尽积亦然雷同的情况，

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这些“不行能的等式”在咱们的场景中确凿起了作用，即无尽函数分数在适合处理的情况下真实是阿谁微分方程的正确解2024年彩票骰宝，而拉马努金的通用x等式真实是正确的。这太深邃、太跋扈了，咱们在这里无法深切教师，但这一切都惬心贵当。